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高一數學復習：函數值域必修
一.觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察，結合函數的解析式，求得函數的值域。
例1求函數y=3+√(2-3x) 的值域。
點撥：根據算術平方根的性質，先求出√(2-3x) 的值域。
解：由算術平方根的性質，知√(2-3x)≥0，
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解，這種方法對于一類函數的值域的求法，簡捷明了，不失為一種巧法。
求函數y=[x](0≤x≤5)的值域。(答案：值域為：{0，1，2，3，4，5｝)
二.反函數法
當函數的反函數存在時，則其反函數的定義域就是原函數的值域。
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域。
點撥：先求出原函數的反函數，再求出其定義域。
解：顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y)/(y-1),其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為{y?y≠1,y∈R｝。
求函數y=(10x+10-x)/(10x-10-x)的值域。(答案：函數的值域為{y?y<-1 y="">1｝)
三.配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(-x2+x+2)的值域。
點撥：將被開方數配方成完全平方數，利用二次函數的較值求。
解：由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[-1，2]。此時-x2+x+2=-(x-1/2)2+9/4∈[0，9/4]
求函數y=2x-5+√15-4x的值域.(答案:值域為{y?y≤3})
四.判別式法
若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。
例4求函數y=(2x2-2x+3)/(x2-x+1)的值域。
點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程，應用二次方程根的判別式，從而確定出原函數的值域。
解：將上式化為(y-2)x2-(y-2)x+(y-3)=0 (*)
當y≠2時,由Δ=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0，解得：2
求函數y=1/(2x2-3x+1)的值域。(答案：值域為y≤-8或y>0)。
五.較值法
對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的較值,可得到函數y的值域。
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。
點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍，將目標函數消元、配方，可求出函數的值域。
解：∵3x2+x+1>0，上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解，解之得-1≤x≤3/2，又x+y=1，將y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù)，故只需比較邊界的大小。
當x=-1時，z=-5;當x=3/2時，z=15/4。
若√x為實數，則函數y=x2+3x-5的值域為 ( )
A.(-∞，+∞) B.[-7，+∞] C.[0，+∞) D.[-5，+∞)
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